Quadrature du cercle : Archimède et l’Égypte
Mathématiques à Kémèt
1. L’un des grands problèmes de la mathématique grecque fut la quadrature du cercle . Mais ce problème fut attaqué, pour la première fois dans l’histoire des mathématiques, par les géomètres d’Égypte.
Richard J. Gillings n’en pense pas moins : « But his method allows him to find a square nearly equal to a circle, so that we can credit A’hmosè with being the first authentic circle-squarer in recorded history ! » (R.J. Gillings, Mathematics in the time of Pharaohs, New York, Dover Publications, 1982, P. 145 ).
Traduction : « Mais sa méthode lui permet de trouver un carré à peu près égal à un cercle, de sorte que nous pouvons reconnaître que Ahmes passe pour avoir été le premier (géomètre) authentique à inscrire un cercle dans un carré au vu de l’histoire écrite ! ».
A’h-mosé ou Ahmès est le sribe-mathématicien qui a recopié, vers 1650 av. notre ère, le texte mathématique égyptien connu aujourd’hui sous la désignation de « Papyrus de Rhind ». De fait, la méthode de chercher le carré du cercle apparaît, pour la première fois dans l’histoire écrite des mathématiques, avec le problème n° 48 de ce papyrus.
Ainsi, bien après les Égyptiens (vers 1650 av. notre ère), et le géomètre Hippocrate de Chios (Ve siècle av. notre ère), Archimède de Syracuse (vers 287-212 av. notre ère) développe tout un programme de recherche dans la perspective de pouvoir faire la quadrature du cercle .
2. Archimède commence à s’intéresser aux objets dont les grandeurs – longueur, aire, volume – ont quelque chose à voir avec celles du cercle (sphère, cylindre, cône, spirale).
Dans une deuxième étape, il étudie les figures courbes particulières (paraboles et lunules), dont on peut faire la quadrature. Enfin, dans une troisième étape, Archimède propose une méthode de calcul pour approcher la mesure du cercle.
3. A l’époque d’Archimède, le gymnase ne laissait que peu de place aux disciplines scientifiques et à la géométrie. De plus, Syracuse, la ville natale d’Archimède, ne comportait aucune école de niveau supérieur au gymnase.
Il est évident qu’à cette époque, qui voulait devenir savant allait à Alexandrie…en terre africaine d’Égypte.
Comme autrefois Thalès venant de Milet, ou Pythagore de Samos, Archimède a fait le voyage en Égypte, lui venant de Syracuse, vers le milieu du IIIe siècle av. notre ère. Astronomie, médecine, mathématiques et mécanique, étude de la nature, littérature, grammaire, géographie, florissaient alors à Alexandrie. La bibliothèque du Musée d’Alexandrie avait plus de 500 000 papyrus : tout Homère, la bibliothèque entière d’Aristote, les Tragiques (Sophocle, Euripide, Eschyle), les grandes comédies (Aristophane, etc.), Platon, les récits des voyages, les écrits des poètes, de ceux qui avaient dit comment étaient les nombres (Pythagore), les Éléments d’Euclide (treize volumes).
Mais, surtout, l’immense héritage pharaonique était encore directement lisible avec des savants comme le prêtre et historien autochtone du IIIe siècle av. notre ère, le célèbre Manéthon, auteur d’une Histoire d’Égypte aujourd’hui disparue. Les égyptologues, encore de nos jours, ne font que suivre la chronique manéthonienne des dynasties pharaoniques.
Platon et Aristote, en leur temps, ont célébré les inventions astronomiques, mathématiques, artistiques et linguistiques du génie égyptien.
C’est de Conon, géomètre alexandrin, qu’Archimède apprit une courbe étonnante, faisant plusieurs révolutions autour d’un point dont elle s’écarte un peu plus à chaque tour : la spirale.
Archimède n’avait rien écrit avant son départ en Égypte. C’est de retour à Syracuse, des années plus tard, qu’Archimède rédigea ses traités de mathématiques, en ayant d’ailleurs une pensée pour Conon, lui qui eût été en mesure de comprendre ses écrits et de porter sur eux un jugement autorisé.
4. La quadrature du cercle en Égypte. Les faits ci-après le démontre effectivement.
C’est le problème n° 48 du Papyrus Rhind.
Cette figure tracée par le scribe représente un cercle inscrit dans un carré. La valeur du signe à l’intérieur de la figure est 9 : c’est à la fois le côté du carré et le diamètre du cercle. Le côté du carré est égal au diamètre du cercle.
Le scribe calcule la surface du carré : 9 x 9 = 81
Il calcule ensuite la surface du cercle : 8 x 8 = 64
Ce qui s’explique : le carré et le cercle ont le côté et le diamètre dans le rapport 8/9. Leurs surfaces sont approximativement égales. Ce dont le cercle dépasse le carré (la partie hachurée) est à peu près égal à ce dont la carré dépasse le cercle (la partie quadrillée). Ainsi :
On peut aussi interpréter les données égyptiennes de cette autre manière. Le cercle est assimilé à un octogone irrégulier dont les dimensions sont indiquées sur la figure ci dessous et dont la surface est 63, mais 64 étant préféré à 63 par le scribe parce que c’est un carré parfait. Ainsi :
- Figure : Le cercle est assimilé à un octogone irrégulier.
La surface du carré est : 9 x 9 = 81.
Celle des 4 triangles isocèles qui forment ensemble deux petits carrés de côté 3, est égale à :
(3 x 3) x 2 = 18.
La surface du cercle est donc :
81 – 18 = 63
64 étant préféré à 63 parce que c’est un carré parfait.
Au total, les Égyptiens ont comparé le carré et son cercle circonscrit. Ce qui pose le problème de la détermination du rapport du diamètre et du côté. Ils ont vu que le cercle avait une plus grande surface. Ils ont alors cherché le carré qui a une surface à peu près égale à celle du cercle, c’est à dire le carré intermédiaire entre le carré circonscrit et le carré inscrit. Ils ont noté le rapport 8/9 dans lequel se trouvent le côté du carré et le diamètre du cercle.
Une certaine compréhension des rapports géométriques s’impose de toute évidence. Il faut également mettre bien en relief la compréhension de la constance de l’égalité des surfaces des cercles et des carrés dont les diamètres et côtés sont dans le rapport 8/9, et cela quelles que soient les dimensions absolues de ces figures. Cette constance est comparable à la constance de Pi, du rapport entre la surface et le rayon.
Avec ce rapport de 8/9, c’est donc aux Égyptiens que revient, dans l’histoire des mathématiques, la toute première tentative de résolution de la quadrature du cercle.
5. La quadrature du cercle par Archimède.
Avant Archimède et après les Égyptiens, Euclide, au livre XII de ses éléments, a démontré qu’il y a pour tout cercle un rapport constant entre l’aire de ce cercle et l’aire d’un carré dont le côté est le rayon (la moitié du diamètre) du cercle.
C’est dans son traité La mesure du cercle qu’Archimède s’est attaqué à la quadrature du cercle.
- Figure : Quadrature du cercle par Archimède.
Chercher la quadrature du cercle
S’attaquer à une entreprise vouée automatiquement à l’échec.
Faire face à un problème insurmontable.
Entreprendre un projet irréalisable.
L’expression “chercher la quadrature du cercle” est une locution peu connue qui signifie “entreprendre une action vouée à l’échec”. Pourquoi vouée à l’échec? Parce-que la “quadrature du cercle”, qui consiste à calculer les dimensions d’un carré à partir de la circonférence (connue) d’un cercle de surface équivalente, est … impossible!
Selon Wikipédia:
Faire face à un problème insurmontable.
Entreprendre un projet irréalisable.
L’expression “chercher la quadrature du cercle” est une locution peu connue qui signifie “entreprendre une action vouée à l’échec”. Pourquoi vouée à l’échec? Parce-que la “quadrature du cercle”, qui consiste à calculer les dimensions d’un carré à partir de la circonférence (connue) d’un cercle de surface équivalente, est … impossible!
Selon Wikipédia:
“Le problème est de construire un carré de même aire qu’un cercle donné à l’aide d’une règle et d’un compas. Il remonte à l’invention de la géométrie et a occupé de nombreux mathématiciens au cours des siècles. C’est en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel démontre un théorème qui permet d’exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. Mais il faudra attendre jusqu’en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de π (Pi) pour appliquer le théorème de Wantzel au problème de la quadrature du cercle et ainsi démontrer qu’elle était impossible à réaliser. L’Académie des sciences, qui avait déjà pressenti ce résultat depuis un siècle, n’acceptait plus de « preuve» de cette quadrature.”En savoir plus:
4 Réponses à “Chercher la quadrature du cercle”
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mars 11th, 2007 à 12:02 Pourquoi tenir bon à calculer avec précision l’infini en parlant de Pi, n’est-il pas venu le temps où l’on doit admettre que la surface du cercle doit être calculée en prenant en considération deux aires de nature différentes, celle du carré(constante) dont les côtés sont les "bases des arcs de cercle" et la surface des arcs (variable absurde) qui à mon sens doit faire l’objet d’une nouvelle convention de calcul ne prétendant pas être la plus proche de la "réalité relative", mais plutôt la plus subtile dans l’expression de cette partie. Le diamètre se suffit à lui mêªme pour exprimer la grandeur de la courbe centroparallèle.
mars 12th, 2007 à 14:35 ouh la … je dirais -avec humour- que ce sera donc à rajouter à la plaisanterie suivante sous le titre “l’enseignement des maths en 2007″ ou à suggérer à Achille Talon …
Evolution de l’enseignement des Mathématiques
Enseignement 1960
Un paysan vend un sac de pommes de terre pour 100 Frs. Ses frais de production s’ élèvent au 4/5 du prix de vente. Quel est son bénéfice?
Enseignement traditionnel 1970
Un paysan vend un sac de pommes de terre pour 100 Frs. Ses frais de production s’élèvent au 4/5 du prix de vente, c’est-à -dire à 80 Frs.
Quel est son bénéfice?
Enseignement moderne 1970
Un paysan échange un ensemble P de pommes de terre contre un ensemble M de monnaie. Le cardinal de l’ensemble M est égal à 100, et chaque élément PFM vaut 1 Fr. Dessinez 100 gros points représentant les éléments de l’ensemble M.
L’ensemble F des frais de production comprend 20 gros points de moins que l’ensemble M. Représentez l’ensemble F comme sous ensemble de l’ensemble M et don nez la réponse à la question suivante: Quel est le cardinal de l’ensemble B des bénéfices? (à dessiner en rouge)
Enseignement rénové 1980
Un agriculteur vend un sac de pommes de terre pour 100 Frs. Les frais de production s’élèvent à 80 Frs et le bénéfice est de 20 Frs. Devoir: souligne les mots “Pommes de terre” et discutes-en avec ton voisin.
Enseignement réformé 1980
Un peizan kapitalist privilégié sanrichi injustement de 20 Frs sur un sac de patat, analiz le tekst et recherche les fotes de contenu, de gramère, d’orthografe, de ponctuassion et ensuite dit ce que tu panse de set manière de s’enrichir.
Enseignement start-up 1999
Un producteur de l’espace agricole cablé consulte une data bank qui display le day-rate de la patate. Il load son progiciel de computation fiable et détermine le cash-flow sur écran bit-map (sous WMil avec config floppy et DD 40Go). Dessine avec ta souris le contour intégré 3D du sac de pommes de terre. Puis logues-toi au network par le http://www.blue-potatoe.com et suis les indications du menu.
Enseignement 2010
Qu’est-ce qu’un paysan?
mars 27th, 2007 à 21:49 Je crois que Laurence a gaspillé trop de temps dans sa parade linguistique en s’élognant de la sorte du vif du sujet qui reste malgré tout une passion pour les spécialistes et un domaine de recherches sérieuses visant, avant de mesurer le cercle, à le comprendre. Le problème réside dans le fait qu’on mélange des pommes avec des oranges quand on veut mesurer avec soit-disant exactitude la circonférence et la surface du cercle. Cela veut dire, qu’on doit laisser à côté la règle qui ne nous sert vraiment à rien que fixer la longueur du diamètre, c’est déjà un des premiers pas vers la compréhension. Le deuxième en est la désillusion de Pi, c’est-à -dire dire renoncer à l’approximation absurde que se nombre "transcendant" prétend fournir car il est, par expérience, chaotique et n’assouvit pas l’intelligence de ceux qui veulent que le cercle soit aussi fini dans sa mesure que son diamètre. Le cercle, n’est-il pas la rotation fini de son rayon? Je pense avec ceux qui aspirent à un algorithme qui part du diamètre pour y revenir.
avril 14th, 2007 à 16:28 J’ai voulu expliqué au mieux ce que Attafi a essayé d’éucider en parlant de méange de mesure, en disant qu’il ne faut pas mélanger des oranges avec des pommes: la circonférence du cercle est une "courbe fermée" dont la progression circulaire est une variation finie assurant la courbure régulière de la circonférence , qui est bien la rotation finie de son diamètre. Chaque point de la circonférence est une variation qui tend vers l’arc ;d’où l’impossibilité de mesurer cette partie avec la règle, à moins qu’il n’y en ait une dont les graduations sont de la même échelle que celle dessinant la circonférence. Absurde! je le sais mais cela relève de la pure convention géométrique. Le cercle ne pourrait jamais être mesuré par exactitude que lorsque sa tendance vers l’arc serait rendue constante, une droiture laissant intervenir fiablement la régle. Seul le cercle quadratique est mesurable intelligiblement.